3. LO STATO DI TENSIONE



3.3 IL TENSORE DEGLI SFORZI

Si è visto che lo stato di tensione in un punto interno P di un corpo è completamente conosciuto quando si sappia determinare il vettore tensione per qualunque n della stella di piani passanti per P. Per raggiungere tale risultato si ripercorre ora il ragionamento classico di Cauchy , riportato nei suoi famosi Exercices de mathématique (1827).





3.3.1 Le componenti del vettore tensione

Il vettore tensione può essere rappresentato in un riferimento cartesiano ortogonale (v. Fig. 3.4) in cui siano i versori relativi ai tre assi :






Fig. 3.4: Vettore della tensione nel riferimento .


  (3.11)



ovverosia in un riferimento ortogonale intrinseco all'elemento
piano costituito da n , v, r (v. Fig. 3.5), essendo v ed r versori tangenti al piano


  (3.12)



Fig. 3.5: Vettore della tensione nel riferimento n , v ed r.




Le componenti prendono i seguenti nomi :

tensione normale

tensioni tangenziali

Si noti che in generale con il simbolo si indica la componente, lungo la direzione b, del vettore tensione relativo all'elemento piano di normale a. Quindi il primo indice individua l'elemento piano ed il secondo indica la direzione della componente.

Spesso, e quasi sempre nella letteratura tecnica, le tensioni tangenziali sono indicate con i simboli e .
E' immediato verificare che il modulo della tensione tangenziale totale sull'elemento piano è data da:



  (3.13)

 


3.3.2 L'equilibrio in un punto interno

In un punto P generico del corpo B si consideri un tetraedro infinitesimo idealmente isolato all'interno dello stesso mediante tre piani paralleli ai piani coordinati, passanti per il punto considerato, e da un quarto piano avente per normale n e distante dh dal punto P (v. Fig. 3.6).






Fig. 3.6: Tetraedro infinitesimo isolato intorno al punto P.



Essendo interessati all'equilibrio del tetraedro così individuato, si dovranno considerare le azioni che su di esso esercitava il corpo B prima dei tagli. In virtù delle ipotesi fatte, si orienteranno le normali alle facce del tetraedro verso l'esterno e di conseguenza le azioni che agiscono sul tetraedro sono:



Per l'equilibrio dovrà risultare:

(3.14)


Ricordando che

  (3.15)


in cui

  (3.16)



la (3.14), dividendo per dà luogo a :


  (3.17)


e, facendo tendere a zero l'altezza del tetraedro, si riduce a:

  (3.18)


La (3.18) dimostra che il vettore tensione su di un generico piano passante per P è perfettamente determinato dalla conoscenza dei tre vettori tensione su tre elementi piani mutuamente ortogonali. Questa dimostrazione è dovuta a Cauchy.

L'equazione (3.18) scritta in componenti diviene:



  (3.19)



dove , componenti dei vettori , sono chiamate componenti speciali di tensione.

In notazione compatta le (3.19) si scrivono nella forma:

  (3.20)


che sintetizza il "teorema di Cauchy" e dove è sottintesa la sommatoria, da 1 a 3, rispetto all'indice ripetuto.
   

Dalla (3.20) discende che è un'applicazione lineare che al generico vettore n fa corrispondere il vettore . Si tratta di un tensore (del secondo ordine) le cui componenti cartesiane, nel riferimento sono proprio le quantità


  (3.21)


Resta quindi dimostrato che, conoscendo le 9 componenti del tensore , è possibile risalire, mediante le (3.20), al vettore tensione su un qualunque elemento piano.




3.3.3 Convenzione sui segni delle componenti speciali di tensione

Per definire una convenzione sui segni delle componenti speciali di tensione si fa riferimento alle giaciture parallele ai piani coordinati del riferimento cartesiano ed in particolare alle facce di un cubo elementare (v. Fig. 3.7).



Fig. 3.7: Componenti speciali di tensione nel riferimento .


La convenzione può essere così enunciata: con riferimento all'azione esercitata sul cubo elementare dal corpo che sta dalla parte positiva degli assi di riferimento (il versore n coincide di volta in volta con i, j, k), le componenti di sono positive se equiverse con gli assi . Viceversa, se ci si riferisce all'azione esercitata sul cubo elementare dal corpo che sta dalla parte negativa degli assi di riferimento ( il versore n coincide di volta in volta con -i, -j, -k ), le componenti di sono positive se discordi con gli assi .

Si noti che le tensioni normali positive denotano una trazione.


3.3.4 Reciprocità delle tensioni tangenziali

Si supponga di isolare all'interno del corpo B, un cubo elementare avente tre facce coincidenti con i piani coordinati del riferimento . Con ragionamento analogo a quello già fatto nel precedente punto, se ne possono studiare le condizioni di equilibrio applicandogli, oltre alle eventuali forze di volume cui era soggetto all'interno del corpo, anche le forze che, attraverso le sue facce, vi esercitava la parte rimanente.

La situazione è quella rappresentata nella figura 3.8, dove sono indicate le componenti speciali di tensione nell'ipotesi che siano tutte positive.

Ritenendo ammissibile per le funzioni uno sviluppo in serie di Taylor nell'intorno del punto P, supponendo cioè che le componenti di tensione siano continue e derivabili in P, passando ad es. dalla faccia , alla sua parallela, distante da essa , le tensioni agenti, a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, saranno:


E' ovvia l'estensione alle altre facce.


E' così possibile risalire alle forze di superficie agenti su tutte le facce del cubo elementare considerato, semplicemente moltiplicando le tensioni per l'elemento di area su cui agiscono.

Poiché l'intero corpo B è in equilibrio, lo sarà anche il cubo elementare sotto le azioni sopra considerate.

Se ora si impone l'equilibrio alla rotazione intorno ad un qualunque asse, scegliendo qui per comodità l'asse baricentrico parallelo all'asse , si trova che i contributi non nulli portano a scrivere l'equazione:

  (3.22)


Dividendo tutto per e, trascurando gli infinitesimi rispetto alle quantità finite, si perviene alla equazione:

  (3.23)

che è nota come reciprocità delle tensioni tangenziali.






Fig. 3.8: Cubo elementare isolato nel corpo B.

E' immediato verificare che, con riferimento alle facce normali agli assi ed , risulta e . Si può perciò scrivere :


  (3.24)



Il tensore degli sforzi risulta essere quindi un tensore doppio simmetrico. Tale proprietà riduce da 9 a 6 le sue componenti distinte.

Nella figura 3.9. è illustrato il significato della simmetria con riferimento ad un generico diedro rettangolo.






Fig. 3.9: Simmetria delle tensioni.

 

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